مقالة في الهندسة
دائرة النقاط التسع
تسع نقاط، ودائرة واحدة، ومبرهنة فويرباخ
ثلاث نقاط ليست على مستقيم واحد تمرّ بها دائمًا دائرة. أمّا أن تقع أربع نقاط على دائرة واحدة فهذا يحتاج إلى سبب. ففي كلّ مثلث توجد تسع نقاط تُعرَّف بثلاث طرق مختلفة — ومع ذلك تقع كلّها على دائرة واحدة. وكأنّ هذا لا يكفي، فهذه الدائرة تمسّ الدائرة الداخلية للمثلث والدوائر الخارجية الثلاث.
لنأخذ مثلثًا \(ABC\)، ولتكن \(H\) نقطة تلاقي ارتفاعاته. نرسم ثلاث مجموعات من النقاط، ثلاث نقاط في كلّ مجموعة:
- منتصفات الأضلاع \(M_a,\ M_b,\ M_c\) (منتصفات \(BC,\ CA,\ AB\)).
- مواقع الارتفاعات \(F_a,\ F_b,\ F_c\) — النقاط التي تلتقي فيها الارتفاعات بالأضلاع (أو بامتداداتها).
- منتصفات القطع \(AH,\ BH,\ CH\)، ونرمز إليها بـ \(E_a,\ E_b,\ E_c\) (تُسمّى أحيانًا «نقاط أويلر»).
المجموعة الأولى تتعلّق بالأضلاع فقط، والثانية بالتعامد، والثالثة بنقطة داخلية خاصّة. لا يوجد سبب ظاهر لأن تجتمع.
المبرهنة
دائرة النقاط التسع
في كلّ مثلث، تقع النقاط التسع
\[M_a,M_b,M_c,\qquad F_a,F_b,F_c,\qquad E_a,E_b,E_c\]على دائرة واحدة. مركزها \(N\) هو منتصف القطعة \(OH\) (حيث \(O\) مركز الدائرة المحيطة)، ونصف قطرها \(\rho\) يساوي نصف نصف قطر الدائرة المحيطة \(R\):
\[\boxed{\;\rho=\frac R2\;}\]جرّبوا بأنفسكم
اسحبوا الرؤوس. نقيس بعد كلّ واحدة من النقاط التسع عن \(N\): أصغر بعد وأكبر بعد متساويان دائمًا — ويساويان نصف \(R\). جرّبوا مثلثًا منفرج الزاوية أيضًا.
لمحة تاريخية
نُشرت أوّل برهنة كاملة لوقوع النقاط التسع على دائرة واحدة عام 1821، في بحث مشترك للرياضيّين الفرنسيّين شارل جوليان بريانشون وجان فيكتور بونسليه، في مجلّة Annales de Mathématiques التي كان يحرّرها جوزيف جيرغون.
وبعد سنة واحدة فقط، عام 1822، نشر المعلّم الألمانيّ الشابّ كارل فيلهلم فويرباخ (1800–1834) كتيّبًا عن «خصائص بعض النقاط المميّزة في المثلث المستقيم الأضلاع»، برهن فيه من جديد أنّ منتصفات الأضلاع ومواقع الارتفاعات تقع على دائرة واحدة، وأضاف اكتشافًا مذهلًا: هذه الدائرة تمسّ الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث. لذلك تُسمّى الدائرة في البلدان الناطقة بالألمانية «دائرة فويرباخ». (وكارل فيلهلم هو شقيق الفيلسوف المعروف لودفيغ فويرباخ.)
برهان بمستطيلين
نحتاج إلى أداتين فقط: القطعة المتوسطة في المثلث (القطعة التي تصل منتصفَي ضلعين توازي الضلع الثالث وطولها نصفه)، والحقيقة أنّ قطرَي المستطيل متساويان وينصّف كلّ منهما الآخر، لذا تقع رؤوس المستطيل الأربعة على دائرة قطرها أحد القطرين.
المستطيل الأوّل
في المثلث \(ABC\): \(M_bM_c\parallel BC\). وفي المثلث \(HBC\) (حيث \(E_b,E_c\) منتصفا \(HB,HC\)): \(E_bE_c\parallel BC\). وفي المثلث \(ABH\): \(M_cE_b\parallel AH\)، وفي المثلث \(ACH\): \(M_bE_c\parallel AH\).
لكنّ \(AH\perp BC\) (لأنّ \(AH\) جزء من الارتفاع). إذن الرباعيّ \(M_bM_cE_bE_c\) ضلعان متقابلان فيه يوازيان \(BC\) والضلعان الآخران يوازيان \(AH\) — فهو مستطيل، وقطراه \(M_bE_b\) و\(M_cE_c\).
المستطيل الثاني
بالطريقة نفسها، مع الضلع \(AB\) والقطعة \(CH\) العمودية عليه: \(M_aM_b\parallel AB\parallel E_aE_b\)، و\(M_bE_a\parallel CH\parallel M_aE_b\). إذن \(M_aM_bE_aE_b\) مستطيل أيضًا، وقطراه \(M_aE_a\) و\(M_bE_b\).
ستّ نقاط على دائرة
للمستطيلين قطر مشترك: \(M_bE_b\). لتكن \(\omega\) الدائرة التي قطرها \(M_bE_b\). رؤوس المستطيل الأوّل الأربعة عليها، وكذلك رؤوس المستطيل الثاني. إذن النقاط الستّ \(M_a,M_b,M_c,E_a,E_b,E_c\) على \(\omega\)، والقطع الثلاث \(M_aE_a,\ M_bE_b,\ M_cE_c\) كلّها أقطار فيها.
مواقع الارتفاعات
الموقع \(F_a\) يقع على \(BC\) (الذي عليه \(M_a\)) وعلى الارتفاع \(AH\) (الذي عليه \(E_a\))، والمستقيمان متعامدان. لذا \(\angle M_aF_aE_a=90^\circ\): النقطة \(F_a\) ترى القطر \(M_aE_a\) بزاوية قائمة، فهي على \(\omega\). (إذا انطبقت \(F_a\) على \(M_a\) فلا شيء لنبرهنه.) وبالمثل \(F_b\) و\(F_c\). إذن النقاط التسع كلّها على \(\omega\). \(\blacksquare\)
المركز ونصف القطر
المركز \(N\) هو منتصف القطر \(M_aE_a\). في مقالة مستقيم أويلر برهنّا أنّ \(\overrightarrow{AH}=2\,\overrightarrow{OM_a}\). لذا \(\overrightarrow{AE_a}=\frac12\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OM_a}\)، والرباعيّ \(AE_aM_aO\) متوازي أضلاع. ينتج أمران:
- الضلعان المتقابلان \(E_aM_a\) و\(AO\) متساويان: \(E_aM_a=AO=R\)، أي أنّ قطر الدائرة \(R\) ونصف قطرها \(\frac R2\).
- بطريقة المتّجهات (الأصل في \(O\)، و\(\overrightarrow{OH}=\vec a+\vec b+\vec c\)): \(\overrightarrow{ON}=\frac12\big(\overrightarrow{OE_a}+\overrightarrow{OM_a}\big)=\frac12\Big(\frac{\vec a+\vec h}{2}+\frac{\vec b+\vec c}{2}\Big)=\frac{\vec h}{2}\)، أي أنّ \(N\) منتصف \(OH\).
مبرهنة فويرباخ
مبرهنة فويرباخ (1822)
دائرة النقاط التسع تمسّ الدائرة الداخلية للمثلث من الداخل، وتمسّ كلّ واحدة من الدوائر الخارجية الثلاث من الخارج.
البرهان الكامل أطول من أن يُعرض هنا، لكن يمكن التحقّق من المبرهنة حسابيًّا: تتماسّ دائرتان من الداخل إذا كان البعد بين مركزيهما يساوي الفرق بين نصفَي القطرين. أي أنّ مبرهنة فويرباخ تعني \(NI=\frac R2-r\)، حيث \(I\) و\(r\) مركز الدائرة الداخلية ونصف قطرها. سنرى ذلك في المثال العدديّ. والمعنى الهندسيّ مدهش: الدائرة الداخلية تقع كلّها داخل دائرة النقاط التسع، وتلمسها في نقطة واحدة بالضبط — في كلّ مثلث.
مثال عدديّ
في المثلث \(A(0,0)\)، \(B(6,0)\)، \(C(2,4)\) وجدنا في مقالة مستقيم أويلر أنّ \(O(3,1)\) و\(H(2,2)\). إذن
\[N=\Big(\frac{3+2}{2},\frac{1+2}{2}\Big)=(2.5,\ 1.5),\qquad R=OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\qquad \Big(\frac R2\Big)^2=\frac{10}{4}=2.5.\]نحسب النقاط التسع ونتحقّق أنّ مربّع بعد كلّ منها عن \(N\) يساوي 2.5:
| النقطة | الإحداثيّات | \((x-2.5)^2+(y-1.5)^2\) |
|---|---|---|
| \(M_a\) | \((4,\ 2)\) | \(2.25+0.25=2.5\) |
| \(M_b\) | \((1,\ 2)\) | \(2.25+0.25=2.5\) |
| \(M_c\) | \((3,\ 0)\) | \(0.25+2.25=2.5\) |
| \(F_a\) | \((3,\ 3)\) | \(0.25+2.25=2.5\) |
| \(F_b\) | \((1.2,\ 2.4)\) | \(1.69+0.81=2.5\) |
| \(F_c\) | \((2,\ 0)\) | \(0.25+2.25=2.5\) |
| \(E_a\) | \((1,\ 1)\) | \(2.25+0.25=2.5\) |
| \(E_b\) | \((4,\ 1)\) | \(2.25+0.25=2.5\) |
| \(E_c\) | \((2,\ 3)\) | \(0.25+2.25=2.5\) |
(مثلًا \(F_a\): الارتفاع من \(A\) هو \(y=x\)، والضلع \(BC\) هو \(x+y=6\)، فيلتقيان في \((3,3)\). و\(F_b\): الارتفاع من \(B\) عموديّ على \(AC\) الذي هو \(y=2x\)، فيلتقيان في \((1.2,\ 2.4)\).)
وفويرباخ؟ أطوال الأضلاع \(a=\sqrt{32},\ b=\sqrt{20},\ c=6\)، والمساحة 12. حسابٌ بالآلة الحاسبة يعطي \(r=\frac{S}{s}\approx1.4880\) و\(I\approx(2.4076,\ 1.4880)\)، ومن هنا
\[NI\approx0.0931,\qquad \frac R2-r\approx1.5811-1.4880=0.0931.\]البعد بين المركزين يساوي الفرق بين نصفَي القطرين — الدائرتان متماسّتان فعلًا. ولاحظوا كم هما قريبتان: \(N\) و\(I\) على بعد أقلّ من عُشر وحدة!
تمرين للقرّاء: أربعة مثلثات ودائرة واحدة
تمرين
المثلث \(ABC\) ليس قائم الزاوية، و\(H\) نقطة تلاقي ارتفاعاته.
أ. ما هي نقطة تلاقي ارتفاعات المثلث \(HBC\)؟
ب. برهنوا أنّ للمثلثين \(ABC\) و\(HBC\) دائرة النقاط التسع نفسها.
ج. استنتجوا أنّ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث \(HBC\) يساوي \(R\).
تلميح
في البند أ: الارتفاع من \(B\) في المثلث \(HBC\) عموديّ على \(HC\). ما هو المستقيم العموديّ على \(HC\) والمارّ بـ \(B\)؟ في البند ب: اكتبوا النقاط التسع للمثلث \(HBC\) واحدة واحدة، وقارنوها بالنقاط التسع للمثلث \(ABC\).
حلّ كامل (حاولوا وحدكم أولًا!)
أ. المستقيم \(CH\) هو الارتفاع من \(C\) في المثلث \(ABC\)، لذا \(CH\perp AB\). إذن المستقيم المارّ بـ \(B\) والعموديّ على \(HC\) هو \(BA\) — وهو الارتفاع من \(B\) في المثلث \(HBC\). وبالمثل الارتفاع من \(C\) في المثلث \(HBC\) هو \(CA\). يلتقي الارتفاعان في \(A\): نقطة تلاقي ارتفاعات المثلث \(HBC\) هي \(A\).
ب. نعدّ النقاط التسع للمثلث \(HBC\):
- منتصفات أضلاعه \(HB,\ BC,\ CH\): هي \(E_b,\ M_a,\ E_c\).
- مواقع ارتفاعاته: الارتفاع من \(H\) هو المستقيم \(HA\) وموقعه \(F_a\)؛ الارتفاع من \(B\) هو \(BA\) ويلتقي بالمستقيم \(HC\) في \(F_c\)؛ والارتفاع من \(C\) يلتقي بالمستقيم \(HB\) في \(F_b\).
- منتصفات القطع من رؤوسه إلى نقطة تلاقي ارتفاعاته \(A\): منتصفات \(HA,\ BA,\ CA\)، وهي \(E_a,\ M_c,\ M_b\).
إنّها النقاط التسع نفسها بالضبط للمثلث \(ABC\)، بترتيب آخر! وتسع نقاط (بل ثلاث منها) تحدّد الدائرة، لذا للمثلثين دائرة النقاط التسع نفسها. \(\blacksquare\)
ج. نصف قطر دائرة النقاط التسع هو نصف نصف قطر الدائرة المحيطة — في كلّ مثلث. للمثلثين دائرة نقاط تسع واحدة، لذا نصفا قطرَي دائرتيهما المحيطتين متساويان: كلاهما \(R\). وبالطريقة نفسها مع \(HCA\) و\(HAB\): المثلثات الأربعة \(ABC,\ HBC,\ HCA,\ HAB\) لها دائرة نقاط تسع واحدة، ودوائرها المحيطة الأربع متساوية.
المراجع
- K. W. Feuerbach, Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks, Nürnberg, 1822.
- H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, ch. 1.
- R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover (originally 1929).