رياضيات مع خالدالأستاذ خالد خطيب
مساحة للتعلّم
تنزيل PDFورقة عمل موجّهة

مقالة في الهندسة

نقطة جيرغون

الدائرة الداخلية، ثلاث نقاط تماسّ، ونقطة تلاقٍ واحدة

ترسم الدائرة الداخلية على أضلاع المثلث ثلاث نقاط تماسّ. إذا وصلنا كلّ رأس بنقطة التماسّ على الضلع المقابل له، التقت القطع الثلاث في نقطة واحدة: نقطة جيرغون. في هذه المقالة نتعرّف عليها عن قرب: أين تقع على كلّ قطعة، وكيف ترتبط بـ«أختها» نقطة ناغل، ولماذا تظهر من جديد كنقطة لوموان في مثلث نقاط التماسّ.

الأستاذ خالد خطيب

في مقالة مبرهنة تشيفا رأينا برهانًا قصيرًا لوجود نقطة جيرغون: يكفي أن نحسب النسب التي تقسم بها نقاطُ التماسّ الأضلاعَ، ونتحقّق أنّ حاصل ضربها 1. لكنّ هذا البرهان يقول فقط إنّ النقطة موجودة. هنا نذهب أبعد: نحسب موقعها بالضبط، ونكتشف صلاتها بنقاط أخرى في المثلث.

الرموز: \(a=BC,\ b=CA,\ c=AB\)، \(s=\frac{a+b+c}2\) نصف المحيط. لتمسّ الدائرة الداخلية الأضلاع \(BC,\ CA,\ AB\) في \(D,\ E,\ F\) على الترتيب، ولنرمز إلى نقطة جيرغون بـ \(Ge\).

المبرهنة

نقطة جيرغون وموقعها

القطع \(AD,\ BE,\ CF\) تلتقي في نقطة واحدة \(Ge\)، وهي تقسم كلّ قطعة بالنسبة

\[\boxed{\;\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{a\,(s-a)}{(s-b)(s-c)}\;}\]

(وبالمثل للقطعتين الأخريين، بتبديل الحروف دوريًّا).

أطوال المماسّات: \(x\) من \(A\)، \(y\) من \(B\)، \(z\) من \(C\). القطع من الرؤوس إلى نقاط التماسّ تلتقي في \(Ge\).
ملاحظة: نقطة جيرغون ليست مركز الدائرة الداخلية. المركز \(I\) هو نقطة تلاقي المنصّفات، أمّا \(Ge\) فنقطة تلاقي القطع إلى نقاط التماسّ. تنطبق النقطتان فقط في المثلث المتساوي الأضلاع.

جرّبوا بأنفسكم

اسحبوا الرؤوس وراقبوا أطوال المماسّات الثلاثة والنسبة \(A\,Ge:Ge\,D\). قارنوا النسبة بالصيغة في المبرهنة. الزرّ الأوّل يضيف نقطة ناغل (بالبرتقالي) — التي سنتحدّث عنها بعد قليل.

–\(x=s-a\)
–\(y=s-b\)
–\(z=s-c\)
–\(\frac{A\,Ge}{Ge\,D}\)

لمحة تاريخية

تحمل النقطة اسم الرياضيّ الفرنسيّ جوزيف دياز جيرغون (1771–1859). كان جيرغون ضابطًا في الجيش ثم أستاذًا في مونبلييه، واشتهر خاصّة بأنّه أسّس عام 1810 مجلة Annales de mathématiques pures et appliquées، المعروفة باسم «حوليّات جيرغون»، وهي من أوائل المجلات المخصّصة للرياضيات وحدها. وفي صفحاتها نُشرت أعمال كثيرة في الهندسة، منها أعمال جيرغون نفسه في «مبدأ الثنائيّة» في الهندسة الإسقاطية.

أمّا النقطة «الأخت»، نقطة ناغل، فتحمل اسم الرياضيّ الألمانيّ كريستيان هاينريش ناغل (1803–1882).

الموقع على القطعة

  1. أطوال المماسّات

    مماسّان من نقطة واحدة إلى دائرة متساويان. لذا \(AE=AF=x\)، \(BF=BD=y\)، \(CD=CE=z\). من الأضلاع:

    \[y+z=a,\qquad z+x=b,\qquad x+y=c.\]

    نجمع: \(2(x+y+z)=2s\)، أي \(x+y+z=s\). ومن هنا

    \[x=s-a,\qquad y=s-b,\qquad z=s-c.\]

  2. نقطة التلاقي موجودة

    كما في مقالة تشيفا: \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac yz\cdot\frac zx\cdot\frac xy=1\)، لذا تلتقي القطع الثلاث.

  3. منلاوس يحسب النسبة

    نطبّق مبرهنة منلاوس على المثلث \(ABD\) مع المستقيم \(CF\)، الذي يقطع \(AB\) في \(F\)، وامتداد \(BD\) في \(C\)، و\(DA\) في \(Ge\):

    \[\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BC}{CD}\cdot\frac{D\,Ge}{Ge\,A}=1.\]

    نعوّض \(AF=x,\ FB=y,\ BC=a,\ CD=z\):

    \[\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BC}{CD}=\frac{x}{y}\cdot\frac{a}{z}=\frac{a\,(s-a)}{(s-b)(s-c)}.\qquad\blacksquare\]

بلغة «الأوزان»

هناك طريقة أنيقة لكتابة موقع النقطة: نضع في الرؤوس أثقالًا تتناسب عكسيًّا مع أطوال المماسّات، \(\frac1x,\ \frac1y,\ \frac1z\). مركز ثقل الثقلين في \(B\) و\(C\) يقع على \(BC\) ويقسمه بالنسبة \(\frac1z:\frac1y=y:z\) — وهذه بالضبط النقطة \(D\)! لذا مركز ثقل الأثقال الثلاثة يقع على \(AD\)، وبالمثل على \(BE\) وعلى \(CF\): إنّه \(Ge\). بالإحداثيّات:

\[Ge=\frac{\frac1x\,A+\frac1y\,B+\frac1z\,C}{\frac1x+\frac1y+\frac1z}.\]

هذه هي فكرة تشيفا الأصلية — البرهان بالأثقال — وهي تعطي النسبة من جديد: \(\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{\frac1y+\frac1z}{\frac1x}=\frac{x(y+z)}{yz}\)، وهي الصيغة نفسها.

صلات جميلة

جيرغون وناغل: انعكاس حول منتصفات الأضلاع

نقاط تماسّ الدوائر الخارجية مع الأضلاع تعطي نقطة ناغل \(Na\) (انظروا التمرين في مقالة تشيفا). الدائرة الخارجية المقابلة لـ \(A\) تمسّ \(BC\) في نقطة \(D'\) تحقّق \(BD'=s-c\) و\(CD'=s-b\). قارنوا مع \(BD=s-b\) و\(CD=s-c\): النقطتان \(D\) و\(D'\) متناظرتان بالنسبة لمنتصف \(BC\)، وكذلك على الضلعين الآخرين.

تُسمّى نقطتان مرتبطتان بهذه الطريقة «مترافقتين إيزوتوميًّا» (isotomic conjugates): نعكس نقاط تقاطع القطع مع الأضلاع حول منتصفات الأضلاع، فتلتقي القطع الجديدة هي أيضًا (حاصل ضرب النسب يصبح مقلوبه، وهو 1 أيضًا). وبلغة الأوزان: أوزان \(Ge\) هي \(\frac1x,\frac1y,\frac1z\)، وأوزان \(Na\) هي \(x,\ y,\ z\).

قطع جيرغون وقطع ناغل. على الضلع \(BC\) النقطتان \(D\) و\(D'\) على بعدين متساويين من المنتصف \(M\).

ولنقطة ناغل صلة مدهشة أخرى: المركز الداخليّ \(I\) ومركز الثقل \(G\) ونقطة ناغل \(Na\) تقع على مستقيم واحد (يُسمّى «مستقيم ناغل»)، و\(G\) تقسم القطعة \(I\,Na\) بنسبة \(1:2\) تمامًا. البرهان بالأوزان قصير: أوزان \(I\) هي \(a,b,c\)، وأوزان \(Na\) هي \(s-a,\ s-b,\ s-c\)، ومجموعهما \(s,s,s\) — أوزان متساوية، أي مركز الثقل.

مثلث نقاط التماسّ

المثلث \(DEF\) يُسمّى مثلث نقاط التماسّ، ودائرته المحيطة هي الدائرة الداخلية للمثلث \(ABC\). أضلاع \(ABC\) مماسّة لهذه الدائرة في \(D,E,F\)، لذا \(A\) هي نقطة تقاطع المماسّين للدائرة المحيطة بالمثلث \(DEF\) في \(E\) وفي \(F\).

وفي مقالة نقطة لوموان نبرهن أنّ المستقيم الذي يصل رأسًا بنقطة تقاطع المماسّين في الرأسين الآخرين هو سيميديان (المتوسّط المنعكس). إذن \(DA\) و\(EB\) و\(FC\) هي السيميديانات الثلاثة للمثلث \(DEF\)، ونقطة جيرغون للمثلث \(ABC\) هي نقطة لوموان للمثلث \(DEF\).

مثلث نقاط التماسّ \(DEF\) (المظلّل). الدائرة الداخلية للمثلث \(ABC\) هي دائرته المحيطة، و\(Ge\) هي نقطة لوموان فيه.

مثال عدديّ: المثلث 13–14–15

في المثلث الذي أطوال أضلاعه \(a=14,\ b=15,\ c=13\): نصف المحيط \(s=21\)، لذا أطوال المماسّات

\[x=21-14=7,\qquad y=21-15=6,\qquad z=21-13=8.\]

(تحقّق: \(y+z=14=a\)، \(z+x=15=b\)، \(x+y=13=c\).) وفق المبرهنة

\[\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{14\cdot7}{6\cdot8}=\frac{49}{24},\qquad \frac{B\,Ge}{Ge\,E}=\frac{15\cdot6}{7\cdot8}=\frac{45}{28},\qquad \frac{C\,Ge}{Ge\,F}=\frac{13\cdot8}{7\cdot6}=\frac{52}{21}.\]

أي أنّ \(Ge\) تقع على القطعة \(AD\) عند \(\frac{49}{73}\) من طولها بدءًا من \(A\). لاحظوا: على كلّ قطعة النسبة أكبر من 1 — النقطة أقرب إلى الضلع منها إلى الرأس. وهذا صحيح في كلّ مثلث؟ جرّبوا في المختبر أن تجعلوا إحدى النسب أصغر من 1.

تمرين للقرّاء: متى تنطبق النقاط؟

تمرين

(أ) برهنوا أنّ نقطة جيرغون تقع على المتوسّط النازل من \(A\) إذا وفقط إذا كان \(AB=AC\).

(ب) برهنوا أنّ نقطة جيرغون ونقطة ناغل تنطبقان إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع.

تلميح

في (أ): إذا وقعت \(Ge\) على المتوسّط \(AM\)، فالقطعتان \(AD\) و\(AM\) مستقيم واحد. ماذا يعني ذلك عن \(D\)؟ وفي (ب): إذا انطبقت النقطتان، فقطعتا جيرغون وناغل من \(A\) تنطبقان. ما العلاقة بين \(D\) و\(D'\)؟

حلّ كامل (حاولوا وحدكم أولًا!)

(أ) النقطة \(Ge\) تقع على القطعة \(AD\) (وليست \(A\) نفسها)، لذا تقع على المتوسّط \(AM\) إذا وفقط إذا كان المستقيمان \(AD\) و\(AM\) مستقيمًا واحدًا، أي \(D=M\). وهذا يعني \(BD=DC\)، أي \(s-b=s-c\)، أي \(b=c\). \(\blacksquare\)

(ب) إذا انطبقت \(Ge\) و\(Na\)، فالقطعتان من \(A\) إلى \(D\) وإلى \(D'\) مستقيم واحد، لذا \(D=D'\). لكنّ \(D\) و\(D'\) متناظرتان بالنسبة لمنتصف \(BC\)، فتنطبقان فقط في المنتصف: \(s-b=s-c\)، أي \(b=c\). وبالطريقة نفسها على ضلع آخر \(a=b\)، فالمثلث متساوي الأضلاع.

وبالعكس: في المثلث المتساوي الأضلاع كلّ نقاط التماسّ (مع الدائرة الداخلية ومع الدوائر الخارجية) هي منتصفات الأضلاع، فكلّ القطع متوسّطات، والنقطتان كلتاهما مركز الثقل. \(\blacksquare\)

لاحظوا أنّ (ب) نتيجة مباشرة لكون النقطتين مترافقتين إيزوتوميًّا: نقطة تنطبق على مرافقتها فقط إذا كانت كلّ قطعها متوسّطات — أي إذا كانت مركز الثقل.

المراجع

  • R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover (reprint of Modern Geometry, 1929).
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, ch. 1.
  • R. Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995.
الأستاذ خالد خطيب · نقطة جيرغون

מאמר בגאומטריה

נקודת ז'רגון

המעגל החסום, שלוש נקודות השקה ונקודת מפגש אחת

המעגל החסום יוצר על צלעות המשולש שלוש נקודות השקה. אם נחבר כל קודקוד עם נקודת ההשקה שעל הצלע שמולו, שלושת הקטעים ייפגשו בנקודה אחת: נקודת ז'רגון. במאמר הזה נכיר אותה מקרוב: היכן היא נמצאת על כל קטע, איך היא קשורה ל"אחותה" נקודת נאגל, ולמה היא מופיעה שוב כנקודת למואן של משולש נקודות ההשקה.

חאלד חטיב

במאמר על משפט צ'בה ראינו הוכחה קצרה לקיומה של נקודת ז'רגון: די לחשב את היחסים שבהם נקודות ההשקה מחלקות את הצלעות, ולבדוק שמכפלתם היא 1. אבל ההוכחה הזאת אומרת רק שהנקודה קיימת. כאן נלך רחוק יותר: נחשב את מיקומה בדיוק, ונגלה את הקשרים שלה לנקודות אחרות במשולש.

סימונים: \(a=BC,\ b=CA,\ c=AB\), \(s=\frac{a+b+c}2\) חצי ההיקף. המעגל החסום משיק לצלעות \(BC,\ CA,\ AB\) בנקודות \(D,\ E,\ F\) בהתאמה, ואת נקודת ז'רגון נסמן \(Ge\).

המשפט

נקודת ז'רגון ומיקומה

הקטעים \(AD,\ BE,\ CF\) נפגשים בנקודה אחת \(Ge\), והיא מחלקת כל קטע ביחס

\[\boxed{\;\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{a\,(s-a)}{(s-b)(s-c)}\;}\]

(ובאופן דומה לשני הקטעים האחרים, בהחלפה מעגלית של האותיות).

אורכי המשיקים: \(x\) מ־\(A\), \(y\) מ־\(B\), \(z\) מ־\(C\). הקטעים מן הקודקודים אל נקודות ההשקה נפגשים ב־\(Ge\).
הערה: נקודת ז'רגון אינה מרכז המעגל החסום. המרכז \(I\) הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות, ואילו \(Ge\) היא נקודת המפגש של הקטעים אל נקודות ההשקה. שתי הנקודות מתלכדות רק במשולש שווה־צלעות.

נסו בעצמכם

גררו את הקודקודים ועקבו אחרי אורכי שלושת המשיקים ואחרי היחס \(A\,Ge:Ge\,D\). השוו את היחס לנוסחה שבמשפט. הכפתור הראשון מוסיף את נקודת נאגל (בכתום) — שעליה נדבר בהמשך.

–\(x=s-a\)
–\(y=s-b\)
–\(z=s-c\)
–\(\frac{A\,Ge}{Ge\,D}\)

קצת היסטוריה

הנקודה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף דיאז ז'רגון (1771–1859). ז'רגון היה קצין בצבא ואחר כך פרופסור במונפלייה, והתפרסם במיוחד בכך שייסד בשנת 1810 את כתב העת Annales de mathématiques pures et appliquées, הידוע בשם "האנאלים של ז'רגון", מכתבי העת הראשונים שהוקדשו למתמטיקה בלבד. בדפיו פורסמו עבודות רבות בגאומטריה, ובהן עבודותיו של ז'רגון עצמו על "עקרון הדואליות" בגאומטריה פרויקטיבית.

ואילו הנקודה ה"אחות", נקודת נאגל, נקראת על שם המתמטיקאי הגרמני כריסטיאן היינריך נאגל (1803–1882).

המיקום על הקטע

  1. אורכי המשיקים

    שני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים. לכן \(AE=AF=x\), \(BF=BD=y\), \(CD=CE=z\). מן הצלעות:

    \[y+z=a,\qquad z+x=b,\qquad x+y=c.\]

    נחבר: \(2(x+y+z)=2s\), כלומר \(x+y+z=s\). ומכאן

    \[x=s-a,\qquad y=s-b,\qquad z=s-c.\]

  2. נקודת המפגש קיימת

    כמו במאמר על צ'בה: \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac yz\cdot\frac zx\cdot\frac xy=1\), ולכן שלושת הקטעים נפגשים.

  3. מנלאוס מחשב את היחס

    נפעיל את משפט מנלאוס על המשולש \(ABD\) עם הישר \(CF\), החותך את \(AB\) ב־\(F\), את המשך \(BD\) ב־\(C\), ואת \(DA\) ב־\(Ge\):

    \[\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BC}{CD}\cdot\frac{D\,Ge}{Ge\,A}=1.\]

    נציב \(AF=x,\ FB=y,\ BC=a,\ CD=z\):

    \[\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BC}{CD}=\frac{x}{y}\cdot\frac{a}{z}=\frac{a\,(s-a)}{(s-b)(s-c)}.\qquad\blacksquare\]

בשפת ה"משקלות"

יש דרך אלגנטית לכתוב את מיקום הנקודה: נשים בקודקודים משקולות ביחס הפוך לאורכי המשיקים, \(\frac1x,\ \frac1y,\ \frac1z\). מרכז הכובד של שתי המשקולות ב־\(B\) וב־\(C\) נמצא על \(BC\) ומחלק אותו ביחס \(\frac1z:\frac1y=y:z\) — וזו בדיוק הנקודה \(D\)! לכן מרכז הכובד של שלוש המשקולות נמצא על \(AD\), ובאופן דומה על \(BE\) ועל \(CF\): זוהי \(Ge\). בקואורדינטות:

\[Ge=\frac{\frac1x\,A+\frac1y\,B+\frac1z\,C}{\frac1x+\frac1y+\frac1z}.\]

זה הרעיון המקורי של צ'בה — ההוכחה במשקולות — והוא נותן שוב את היחס: \(\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{\frac1y+\frac1z}{\frac1x}=\frac{x(y+z)}{yz}\), אותה נוסחה.

קשרים יפים

ז'רגון ונאגל: שיקוף ביחס לאמצעי הצלעות

נקודות ההשקה של המעגלים החסומים החיצוניים עם הצלעות נותנות את נקודת נאגל \(Na\) (ראו את התרגיל במאמר על צ'בה). המעגל החיצוני שמול \(A\) משיק ל־\(BC\) בנקודה \(D'\) המקיימת \(BD'=s-c\) ו־\(CD'=s-b\). השוו ל־\(BD=s-b\) ו־\(CD=s-c\): הנקודות \(D\) ו־\(D'\) סימטריות ביחס לאמצע \(BC\), וכך גם על שתי הצלעות האחרות.

שתי נקודות הקשורות זו לזו בדרך זו נקראות "צמודות איזוטומיות" (isotomic conjugates): משקפים את נקודות החיתוך של הקטעים עם הצלעות ביחס לאמצעי הצלעות, וגם הקטעים החדשים נפגשים (מכפלת היחסים הופכת להופכית שלה, שגם היא 1). ובשפת המשקלות: המשקלות של \(Ge\) הם \(\frac1x,\frac1y,\frac1z\), והמשקלות של \(Na\) הם \(x,\ y,\ z\).

קטעי ז'רגון וקטעי נאגל. על הצלע \(BC\) הנקודות \(D\) ו־\(D'\) נמצאות במרחקים שווים מן האמצע \(M\).

ולנקודת נאגל יש קשר מפתיע נוסף: מרכז המעגל החסום \(I\), מרכז הכובד \(G\) ונקודת נאגל \(Na\) נמצאים על ישר אחד (הנקרא "ישר נאגל"), ו־\(G\) מחלקת את הקטע \(I\,Na\) ביחס \(1:2\) בדיוק. ההוכחה במשקלות קצרה: המשקלות של \(I\) הם \(a,b,c\), המשקלות של \(Na\) הם \(s-a,\ s-b,\ s-c\), וסכומם \(s,s,s\) — משקלות שווים, כלומר מרכז הכובד.

משולש נקודות ההשקה

המשולש \(DEF\) נקרא משולש נקודות ההשקה, והמעגל החוסם שלו הוא המעגל החסום של המשולש \(ABC\). צלעות \(ABC\) משיקות למעגל הזה ב־\(D,E,F\), ולכן \(A\) היא נקודת החיתוך של המשיקים למעגל החוסם את המשולש \(DEF\) ב־\(E\) וב־\(F\).

ובמאמר על נקודת למואן אנו מוכיחים שהישר המחבר קודקוד עם נקודת החיתוך של המשיקים בשני הקודקודים האחרים הוא סימדיאנה (התיכון המשוקף). לכן \(DA\), \(EB\) ו־\(FC\) הן שלוש הסימדיאנות של המשולש \(DEF\), ונקודת ז'רגון של המשולש \(ABC\) היא נקודת למואן של המשולש \(DEF\).

משולש נקודות ההשקה \(DEF\) (המוצלל). המעגל החסום של המשולש \(ABC\) הוא המעגל החוסם שלו, ו־\(Ge\) היא נקודת למואן שלו.

דוגמה מספרית: המשולש 13–14–15

במשולש שאורכי צלעותיו \(a=14,\ b=15,\ c=13\): חצי ההיקף \(s=21\), ולכן אורכי המשיקים הם

\[x=21-14=7,\qquad y=21-15=6,\qquad z=21-13=8.\]

(בדיקה: \(y+z=14=a\), \(z+x=15=b\), \(x+y=13=c\).) לפי המשפט

\[\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{14\cdot7}{6\cdot8}=\frac{49}{24},\qquad \frac{B\,Ge}{Ge\,E}=\frac{15\cdot6}{7\cdot8}=\frac{45}{28},\qquad \frac{C\,Ge}{Ge\,F}=\frac{13\cdot8}{7\cdot6}=\frac{52}{21}.\]

כלומר \(Ge\) נמצאת על הקטע \(AD\) ב־\(\frac{49}{73}\) מאורכו, החל מ־\(A\). שימו לב: על כל קטע היחס גדול מ־1 — הנקודה קרובה יותר לצלע מאשר לקודקוד. האם זה נכון בכל משולש? נסו במעבדה לגרום לאחד היחסים להיות קטן מ־1.

תרגיל לקוראים: מתי הנקודות מתלכדות?

תרגיל

(א) הוכיחו שנקודת ז'רגון נמצאת על התיכון היוצא מ־\(A\) אם ורק אם \(AB=AC\).

(ב) הוכיחו שנקודת ז'רגון ונקודת נאגל מתלכדות אם ורק אם המשולש שווה־צלעות.

רמז

ב־(א): אם \(Ge\) נמצאת על התיכון \(AM\), הקטעים \(AD\) ו־\(AM\) הם ישר אחד. מה זה אומר על \(D\)? וב־(ב): אם הנקודות מתלכדות, הקטעים של ז'רגון ושל נאגל היוצאים מ־\(A\) מתלכדים. מה הקשר בין \(D\) ל־\(D'\)?

פתרון מלא (נסו לבד קודם!)

(א) הנקודה \(Ge\) נמצאת על הקטע \(AD\) (והיא אינה \(A\) עצמה), ולכן היא נמצאת על התיכון \(AM\) אם ורק אם הישרים \(AD\) ו־\(AM\) הם ישר אחד, כלומר \(D=M\). פירוש הדבר \(BD=DC\), כלומר \(s-b=s-c\), כלומר \(b=c\). \(\blacksquare\)

(ב) אם \(Ge\) ו־\(Na\) מתלכדות, הקטעים מ־\(A\) אל \(D\) ואל \(D'\) הם ישר אחד, ולכן \(D=D'\). אבל \(D\) ו־\(D'\) סימטריות ביחס לאמצע \(BC\), ולכן הן מתלכדות רק באמצע: \(s-b=s-c\), כלומר \(b=c\). באותו אופן על צלע אחרת \(a=b\), והמשולש שווה־צלעות.

ולהפך: במשולש שווה־צלעות כל נקודות ההשקה (עם המעגל החסום ועם המעגלים החיצוניים) הן אמצעי הצלעות, לכן כל הקטעים הם תיכונים, ושתי הנקודות הן מרכז הכובד. \(\blacksquare\)

שימו לב ש־(ב) נובע ישירות מכך שהנקודות צמודות איזוטומיות: נקודה מתלכדת עם הצמודה שלה רק אם כל הקטעים שלה הם תיכונים — כלומר אם היא מרכז הכובד.

מקורות

  • R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover (reprint of Modern Geometry, 1929).
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, ch. 1.
  • R. Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995.
חאלד חטיב · נקודת ז'רגון

A geometry article

The Gergonne Point

The incircle, three points of tangency, and one meeting point

The incircle marks three points of tangency on the sides of a triangle. If we join each vertex to the point of tangency on the opposite side, the three segments meet at a single point: the Gergonne point. In this article we get to know it up close: where it lies on each segment, how it is related to its “sister”, the Nagel point, and why it reappears as the Lemoine point of the contact triangle.

Khaled Khatib

In the article on Ceva’s theorem we saw a short proof that the Gergonne point exists: it is enough to compute the ratios in which the points of tangency divide the sides and check that their product is 1. But that proof only tells us that the point exists. Here we go further: we compute exactly where it is, and discover its connections to other points of the triangle.

Notation: \(a=BC,\ b=CA,\ c=AB\), and \(s=\frac{a+b+c}2\) is the semiperimeter. Let the incircle touch the sides \(BC,\ CA,\ AB\) at \(D,\ E,\ F\) respectively, and write \(Ge\) for the Gergonne point.

The theorem

The Gergonne point and its position

The segments \(AD,\ BE,\ CF\) meet at a single point \(Ge\), which divides each segment in the ratio

\[\boxed{\;\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{a\,(s-a)}{(s-b)(s-c)}\;}\]

(and similarly for the other two segments, permuting the letters cyclically).

The tangent lengths: \(x\) from \(A\), \(y\) from \(B\), \(z\) from \(C\). The segments from the vertices to the points of tangency meet at \(Ge\).
Note: the Gergonne point is not the centre of the incircle. The centre \(I\) is where the angle bisectors meet, while \(Ge\) is where the segments to the points of tangency meet. The two points coincide only in an equilateral triangle.

Try it yourself

Drag the vertices and watch the three tangent lengths and the ratio \(A\,Ge:Ge\,D\). Compare the ratio with the formula in the theorem. The first button adds the Nagel point (in orange) — which we will discuss shortly.

–\(x=s-a\)
–\(y=s-b\)
–\(z=s-c\)
–\(\frac{A\,Ge}{Ge\,D}\)

A little history

The point is named after the French mathematician Joseph Diez Gergonne (1771–1859). Gergonne was an army officer and later a professor at Montpellier, and he is best known for founding, in 1810, the journal Annales de mathématiques pures et appliquées, known as “Gergonne’s Annales”, one of the first journals devoted to mathematics alone. Many works on geometry were published in its pages, among them Gergonne’s own work on the “principle of duality” in projective geometry.

The “sister” point, the Nagel point, is named after the German mathematician Christian Heinrich Nagel (1803–1882).

The position on the segment

  1. The tangent lengths

    Two tangents to a circle from the same point are equal. So \(AE=AF=x\), \(BF=BD=y\), \(CD=CE=z\). From the sides:

    \[y+z=a,\qquad z+x=b,\qquad x+y=c.\]

    Adding: \(2(x+y+z)=2s\), that is, \(x+y+z=s\). Hence

    \[x=s-a,\qquad y=s-b,\qquad z=s-c.\]

  2. The meeting point exists

    As in the Ceva article: \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac yz\cdot\frac zx\cdot\frac xy=1\), so the three segments meet.

  3. Menelaus computes the ratio

    Apply Menelaus’s theorem to triangle \(ABD\) with the line \(CF\), which meets \(AB\) at \(F\), the extension of \(BD\) at \(C\), and \(DA\) at \(Ge\):

    \[\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BC}{CD}\cdot\frac{D\,Ge}{Ge\,A}=1.\]

    Substituting \(AF=x,\ FB=y,\ BC=a,\ CD=z\):

    \[\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BC}{CD}=\frac{x}{y}\cdot\frac{a}{z}=\frac{a\,(s-a)}{(s-b)(s-c)}.\qquad\blacksquare\]

In the language of “weights”

There is an elegant way to write the position of the point: put weights at the vertices inversely proportional to the tangent lengths, \(\frac1x,\ \frac1y,\ \frac1z\). The centre of mass of the two weights at \(B\) and \(C\) lies on \(BC\) and divides it in the ratio \(\frac1z:\frac1y=y:z\) — exactly the point \(D\)! So the centre of mass of all three weights lies on \(AD\), and likewise on \(BE\) and on \(CF\): it is \(Ge\). In coordinates:

\[Ge=\frac{\frac1x\,A+\frac1y\,B+\frac1z\,C}{\frac1x+\frac1y+\frac1z}.\]

This is Ceva’s original idea — the proof with weights — and it gives the ratio again: \(\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{\frac1y+\frac1z}{\frac1x}=\frac{x(y+z)}{yz}\), the same formula.

Beautiful connections

Gergonne and Nagel: reflection in the midpoints of the sides

The points where the excircles touch the sides give the Nagel point \(Na\) (see the exercise in the Ceva article). The excircle opposite \(A\) touches \(BC\) at a point \(D'\) with \(BD'=s-c\) and \(CD'=s-b\). Compare with \(BD=s-b\) and \(CD=s-c\): the points \(D\) and \(D'\) are symmetric about the midpoint of \(BC\), and the same holds on the other two sides.

Two points related in this way are called isotomic conjugates: reflect the points where the segments meet the sides in the midpoints of the sides, and the new segments meet too (the product of the ratios becomes its reciprocal, which is also 1). In the language of weights: the weights of \(Ge\) are \(\frac1x,\frac1y,\frac1z\), and the weights of \(Na\) are \(x,\ y,\ z\).

The Gergonne segments and the Nagel segments. On side \(BC\) the points \(D\) and \(D'\) are equally far from the midpoint \(M\).

The Nagel point has another surprising connection: the incentre \(I\), the centroid \(G\) and the Nagel point \(Na\) lie on one line (called the “Nagel line”), and \(G\) divides the segment \(I\,Na\) in the ratio \(1:2\) exactly. The proof with weights is short: the weights of \(I\) are \(a,b,c\), the weights of \(Na\) are \(s-a,\ s-b,\ s-c\), and their sums are \(s,s,s\) — equal weights, that is, the centroid.

The contact triangle

Triangle \(DEF\) is called the contact (intouch) triangle, and its circumcircle is the incircle of triangle \(ABC\). The sides of \(ABC\) are tangent to this circle at \(D,E,F\), so \(A\) is the intersection of the tangents to the circumcircle of triangle \(DEF\) at \(E\) and at \(F\).

In the article on the Lemoine point we prove that the line joining a vertex to the intersection of the tangents at the other two vertices is a symmedian (the reflected median). So \(DA\), \(EB\) and \(FC\) are the three symmedians of triangle \(DEF\), and the Gergonne point of triangle \(ABC\) is the Lemoine point of triangle \(DEF\).

The contact triangle \(DEF\) (shaded). The incircle of triangle \(ABC\) is its circumcircle, and \(Ge\) is its Lemoine point.

A numerical example: the 13–14–15 triangle

In the triangle with sides \(a=14,\ b=15,\ c=13\): the semiperimeter is \(s=21\), so the tangent lengths are

\[x=21-14=7,\qquad y=21-15=6,\qquad z=21-13=8.\]

(Check: \(y+z=14=a\), \(z+x=15=b\), \(x+y=13=c\).) By the theorem

\[\frac{A\,Ge}{Ge\,D}=\frac{14\cdot7}{6\cdot8}=\frac{49}{24},\qquad \frac{B\,Ge}{Ge\,E}=\frac{15\cdot6}{7\cdot8}=\frac{45}{28},\qquad \frac{C\,Ge}{Ge\,F}=\frac{13\cdot8}{7\cdot6}=\frac{52}{21}.\]

So \(Ge\) lies on segment \(AD\) at \(\frac{49}{73}\) of its length, measured from \(A\). Notice: on every segment the ratio is greater than 1 — the point is closer to the side than to the vertex. Is that true in every triangle? Try in the lab to make one of the ratios smaller than 1.

A problem for the reader: when do the points coincide?

Exercise

(a) Prove that the Gergonne point lies on the median from \(A\) if and only if \(AB=AC\).

(b) Prove that the Gergonne point and the Nagel point coincide if and only if the triangle is equilateral.

Hint

In (a): if \(Ge\) lies on the median \(AM\), then segments \(AD\) and \(AM\) lie on one line. What does that say about \(D\)? In (b): if the points coincide, the Gergonne and Nagel segments from \(A\) coincide. What is the relation between \(D\) and \(D'\)?

Full solution (try it yourself first!)

(a) The point \(Ge\) lies on segment \(AD\) (and is not \(A\) itself), so it lies on the median \(AM\) if and only if the lines \(AD\) and \(AM\) are the same line, that is, \(D=M\). This means \(BD=DC\), that is, \(s-b=s-c\), that is, \(b=c\). \(\blacksquare\)

(b) If \(Ge\) and \(Na\) coincide, the segments from \(A\) to \(D\) and to \(D'\) lie on one line, so \(D=D'\). But \(D\) and \(D'\) are symmetric about the midpoint of \(BC\), so they coincide only at the midpoint: \(s-b=s-c\), that is, \(b=c\). In the same way on another side \(a=b\), so the triangle is equilateral.

Conversely: in an equilateral triangle all the points of tangency (with the incircle and with the excircles) are the midpoints of the sides, so all the segments are medians, and both points are the centroid. \(\blacksquare\)

Notice that (b) follows directly from the two points being isotomic conjugates: a point coincides with its conjugate only if all its segments are medians — that is, if it is the centroid.

References

  • R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover (reprint of Modern Geometry, 1929).
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, ch. 1.
  • R. Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995.
Khaled Khatib · The Gergonne Point

→ العودة إلى كلّ المقالات