حساب التكامل · 4 و5 وحدات
دالّة المساحة والتكامل المحدّد
اكتبوا دالّة f ومجالًا، ثمّ حرّكوا x: في الرسم العلويّ تتراكم المساحة بين المنحنى والمحور x، وفي الرسم السفليّ تُبنى منها دالّة المساحة F نقطةً بعد نقطة. لاحظوا متى تتزايد F ومتى تتناقص، وأين نقاطها القصوى — ولماذا التكامل المحدّد ليس دائمًا مساحة.
للعرض الكامل مع الشبابيك والتقارير: مستكشف التكامل والدالّة التراكميّة ←
الدالّة والمجال
اكتبوا مثلًا: x^2 - 4 · 3x(x - 2) · sqrt(x) · 1/x · e^x · ln(x) · sin(x). الضرب الضمنيّ مسموح (2x).
الدالّة f(x) — المساحة الملوّنة من a حتّى x
دالّة المساحة F(x) = ∫ax f(t) dt
فوق المحور x: تُحسب موجبة تحت المحور x: تُحسب سالبة نقطة قصوى لـ Fاسحبوا على الرسم لتحريك x
القيم عند المؤشّر
| الموقع | x = 0.6 |
|---|---|
| قيمة الدالّة | f(x) = −3.64 |
| مساحة فوق المحور x | A₊ = 2.333 |
| مساحة تحت المحور x | A₋ = 7.661 |
| التكامل المحدّد | F(x) = A₊ − A₋ = −5.328 |
| المساحة الهندسيّة الكلّيّة | A₊ + A₋ = 9.995 |
هنا f(x) < 0: المساحة تحت المحور تُطرح، لذا F تتناقص.
عند x ≈ −2 غيّرت f إشارتها من + إلى −، لذا لـ F نقطة قصوى عظمى (max) هناك.
على كلّ المجال: ∫ab f(x) dx ≈ −6، والمساحة الهندسيّة ≈ 15.333.
ماذا نرى؟
- قيمة F(x) هي المساحة المتراكمة من a حتّى x، لكنّ المساحة تحت المحور x تُحسب بإشارة سالبة.
- حيث f(x) > 0 تتزايد F، وحيث f(x) < 0 تتناقص F. عند نقطة تغيّر فيها f إشارتها، لـ F نقطة قصوى.
- ميل F عند كلّ نقطة يساوي قيمة f هناك: F′(x) = f(x). أي أنّ F دالّة أصليّة لـ f (المبرهنة الأساسيّة في حساب التفاضل والتكامل).
- التكامل المحدّد ليس دائمًا مساحة: لحساب المساحة الهندسيّة نقسم المجال عند نقاط تقاطع f مع المحور x ونأخذ القيمة المطلقة لكلّ جزء.
- جرّبوا 2x − 4 على [0, 5]: المثلّثان مساحتاهما 4 و9، والتكامل 9 − 4 = 5.