سؤال تحدٍّ · التفاضل والتكامل

دالّة ومشتقّتها مجموعهما eˣ

معادلة صغيرة، وعائلة كاملة من الدوالّ، ودالّتان مشهورتان

نبحث عن دالّة إذا جمعناها مع مشتقّتها حصلنا على \(e^x\). يبدو أنّ الشرط يحتاج إلى «معادلات تفاضليّة» لا يتعلّمها الطلّاب في المدرسة — لكنّ حيلة واحدة ذكيّة تجعل السؤال كلّه في متناول طالب 5 وحدات.

الأستاذ خالد خطيب

السؤال

5 وحدات · التفاضل والتكامل

معطاة دالّة \(f(x)\) قابلة للاشتقاق مرّتين، تحقّق لكلّ \(x\):

\[f(x)+f'(x)=e^x.\]

أ) نعرّف \(g(x)=e^x f(x)\). بيّن أنّ \(g'(x)=e^{2x}\).
ب) استنتج أنّ كلّ دالّة تحقّق الشرط هي من الصورة \(f(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}\)، حيث \(C\) عدد ثابت.
ت) تحقّق أنّ كلّ دالّة من هذه الصورة تحقّق الشرط فعلًا.
ث) برهن أنّ \(f''(x)=f(x)\) لكلّ دالّة تحقّق الشرط.
ج) جد الدالّة الزوجيّة \(f\) التي تحقّق الشرط.
ح) للدالّة التي وجدتها في البند ج: برهن أنّ \(f^2(x)-\big(f'(x)\big)^2=1\) لكلّ \(x\)، وجد قيمتها الصغرى.

***

خ) هل توجد دالّة فرديّة تحقّق الشرط؟ إذا كانت موجودة فجدها.

تلميح للبند أ

اشتقّوا \(g\) حسب قاعدة مشتقّة حاصل الضرب، وأخرجوا \(e^x\) عاملًا مشتركًا. ماذا تعرفون عن المجموع \(f(x)+f'(x)\)؟

تلميح للبند ب

دالّتان مشتقّتاهما متساويتان تختلفان بعدد ثابت. جدوا دالّة واحدة مشتقّتها \(e^{2x}\)، ثمّ عودوا من \(g\) إلى \(f\).

تلميح للبند خ

اكتبوا الشرط \(f(-x)=-f(x)\) للصورة \(\tfrac12e^x+Ce^{-x}\)، وقارنوا معاملَي \(e^x\) و\(e^{-x}\) في الطرفين.

حلّ كامل (حاولوا وحدكم أولًا!)

أ) وفق قاعدة حاصل الضرب: \(g'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x)=e^x\big(f(x)+f'(x)\big)=e^x\cdot e^x=e^{2x}\).

ب) الدالّة \(\tfrac12e^{2x}\) مشتقّتها \(e^{2x}\) أيضًا، لذا \(g(x)\) و\(\tfrac12e^{2x}\) تختلفان بثابت: \(g(x)=\tfrac12e^{2x}+C\). نقسم على \(e^x\ne0\):

\[f(x)=\frac{g(x)}{e^x}=\tfrac12e^x+Ce^{-x}.\]

أي أنّه لا توجد حلول أخرى: كلّ حلّ هو من هذه الصورة.

ت) \(f'(x)=\tfrac12e^x-Ce^{-x}\)، لذا \(f(x)+f'(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}+\tfrac12e^x-Ce^{-x}=e^x\). ✓ إذن الشرط يحدّد بالضبط عائلة دوالّ ذات «وسيط» واحد \(C\).

ث) نشتقّ طرفَي الشرط: \(f'(x)+f''(x)=e^x\). نطرح منه الشرط الأصليّ \(f(x)+f'(x)=e^x\) فنحصل على \(f''(x)-f(x)=0\)، أي \(f''=f\). (أو مباشرةً من الصورة: \(f''(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}=f(x)\).)

ج) الشرط \(f(-x)=f(x)\): \(\tfrac12e^{-x}+Ce^{x}=\tfrac12e^x+Ce^{-x}\)، أي \(\big(C-\tfrac12\big)\big(e^x-e^{-x}\big)=0\) لكلّ \(x\). إذن \(C=\tfrac12\) و

\[f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\]

ح) \(f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)، لذا

\[f^2-(f')^2=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{4}=\frac{4e^x e^{-x}}{4}=1.\]

\(f'(x)=0\) فقط عندما \(e^x=e^{-x}\)، أي \(x=0\)؛ وإشارة \(f'\) سالبة يسار الصفر وموجبة يمينه، لذا القيمة الصغرى \(f(0)=1\). (ومن الهويّة أيضًا: \(f^2=1+(f')^2\ge1\).)

خ) الشرط \(f(-x)=-f(x)\): \(\tfrac12e^{-x}+Ce^{x}=-\tfrac12e^x-Ce^{-x}\)، أي \(\big(C+\tfrac12\big)\big(e^x+e^{-x}\big)=0\). إذن \(C=-\tfrac12\)، والدالّة الفرديّة موجودة:

\[f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.\]

لاحظوا: الدالّة الزوجيّة والدالّة الفرديّة اللتان وجدناهما هما بالضبط مشتقّة إحداهما للأخرى، ومجموعهما \(e^x\). \(\blacksquare\)

ما وراء السؤال

للدالّتين اللتين ظهرتا في البندين ج و خ اسمان خاصّان: جيب التمام الزائديّ \(\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) والجيب الزائديّ \(\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\). الهويّة التي برهنتموها في البند ح، \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\)، تشبه الهويّة المعروفة \(\cos^2x+\sin^2x=1\) — مع إشارة ناقص. وكما أنّ النقطة \((\cos t,\sin t)\) تقع على الدائرة \(x^2+y^2=1\)، فإنّ النقطة \((\cosh t,\sinh t)\) تقع على القطع الزائد \(x^2-y^2=1\)، ومن هنا التسمية.

والرسم البيانيّ للدالّة \(\cosh x\) مألوف أكثر ممّا يبدو: هذا هو شكل سلسلة أو حبل معلّق من طرفيه، ويُسمّى «منحنى السلسلة».

أمّا الحيلة في البند أ — الضرب بـ \(e^x\) — فهي ليست صدفة: إنّها الطريقة العامّة لحلّ كلّ شرط من النوع \(f+f'=h(x)\). جرّبوها مثلًا على \(f(x)+f'(x)=1\).

שאלת אתגר · חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

פונקציה ונגזרתה שסכומן eˣ

משוואה קטנה, משפחה שלמה של פונקציות, ושתי פונקציות מפורסמות

אנחנו מחפשים פונקציה שאם נחבר אותה לנגזרתה נקבל \(e^x\). נראה שהתנאי דורש "משוואות דיפרנציאליות" שלא לומדים בבית הספר — אבל תעלול חכם אחד הופך את כל השאלה לנגישה לתלמיד 5 יחידות.

חאלד חטיב

השאלה

5 יחידות · חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

נתונה פונקציה \(f(x)\) גזירה פעמיים, המקיימת לכל \(x\):

\[f(x)+f'(x)=e^x.\]

(א) נגדיר \(g(x)=e^x f(x)\). הראה כי \(g'(x)=e^{2x}\).
(ב) הסק כי כל פונקציה המקיימת את התנאי היא מהצורה \(f(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}\), כאשר \(C\) קבוע.
(ג) בדוק שכל פונקציה מהצורה הזאת אכן מקיימת את התנאי.
(ד) הוכח כי \(f''(x)=f(x)\) לכל פונקציה המקיימת את התנאי.
(ה) מצא את הפונקציה הזוגית \(f\) המקיימת את התנאי.
(ו) עבור הפונקציה שמצאת בסעיף (ה): הוכח כי \(f^2(x)-\big(f'(x)\big)^2=1\) לכל \(x\), ומצא את ערכה המינימלי.

***

(ז) האם קיימת פונקציה אי־זוגית המקיימת את התנאי? אם כן — מצא אותה.

רמז לסעיף (א)

גזרו את \(g\) לפי כלל המכפלה והוציאו \(e^x\) כגורם משותף. מה ידוע לכם על הסכום \(f(x)+f'(x)\)?

רמז לסעיף (ב)

שתי פונקציות שנגזרותיהן שוות נבדלות בקבוע. מצאו פונקציה אחת שנגזרתה \(e^{2x}\), ואז חזרו מ־\(g\) אל \(f\).

רמז לסעיף (ז)

כתבו את התנאי \(f(-x)=-f(x)\) עבור הצורה \(\tfrac12e^x+Ce^{-x}\), והשוו את המקדמים של \(e^x\) ושל \(e^{-x}\) בשני האגפים.

פתרון מלא (נסו לבד קודם!)

(א) לפי כלל המכפלה: \(g'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x)=e^x\big(f(x)+f'(x)\big)=e^x\cdot e^x=e^{2x}\).

(ב) גם לפונקציה \(\tfrac12e^{2x}\) הנגזרת היא \(e^{2x}\), לכן \(g(x)\) ו־\(\tfrac12e^{2x}\) נבדלות בקבוע: \(g(x)=\tfrac12e^{2x}+C\). נחלק ב־\(e^x\ne0\):

\[f(x)=\frac{g(x)}{e^x}=\tfrac12e^x+Ce^{-x}.\]

כלומר אין פתרונות אחרים: כל פתרון הוא מהצורה הזאת.

(ג) \(f'(x)=\tfrac12e^x-Ce^{-x}\), לכן \(f(x)+f'(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}+\tfrac12e^x-Ce^{-x}=e^x\). ✓ התנאי קובע בדיוק משפחה של פונקציות עם "פרמטר" אחד \(C\).

(ד) גוזרים את שני אגפי התנאי: \(f'(x)+f''(x)=e^x\). מחסרים את התנאי המקורי \(f(x)+f'(x)=e^x\) ומקבלים \(f''(x)-f(x)=0\), כלומר \(f''=f\). (או ישירות מהצורה: \(f''(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}=f(x)\).)

(ה) התנאי \(f(-x)=f(x)\): \(\tfrac12e^{-x}+Ce^{x}=\tfrac12e^x+Ce^{-x}\), כלומר \(\big(C-\tfrac12\big)\big(e^x-e^{-x}\big)=0\) לכל \(x\). לכן \(C=\tfrac12\) ו־

\[f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\]

(ו) \(f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\), לכן

\[f^2-(f')^2=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{4}=\frac{4e^x e^{-x}}{4}=1.\]

\(f'(x)=0\) רק כאשר \(e^x=e^{-x}\), כלומר \(x=0\); סימן \(f'\) שלילי משמאל לאפס וחיובי מימינו, לכן הערך המינימלי הוא \(f(0)=1\). (וגם מהזהות: \(f^2=1+(f')^2\ge1\).)

(ז) התנאי \(f(-x)=-f(x)\): \(\tfrac12e^{-x}+Ce^{x}=-\tfrac12e^x-Ce^{-x}\), כלומר \(\big(C+\tfrac12\big)\big(e^x+e^{-x}\big)=0\). לכן \(C=-\tfrac12\), והפונקציה האי־זוגית קיימת:

\[f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.\]

שימו לב: הפונקציה הזוגית והפונקציה האי־זוגית שמצאנו הן בדיוק הנגזרת זו של זו, וסכומן \(e^x\). \(\blacksquare\)

מעבר לשאלה

לשתי הפונקציות שהופיעו בסעיפים (ה) ו־(ז) יש שמות מיוחדים: הקוסינוס ההיפרבולי \(\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) והסינוס ההיפרבולי \(\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\). הזהות שהוכחתם בסעיף (ו), \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\), דומה לזהות המוכרת \(\cos^2x+\sin^2x=1\) — עם סימן מינוס. וכמו שהנקודה \((\cos t,\sin t)\) נמצאת על המעגל \(x^2+y^2=1\), הנקודה \((\cosh t,\sinh t)\) נמצאת על ההיפרבולה \(x^2-y^2=1\) — ומכאן השם.

הגרף של \(\cosh x\) מוכר יותר ממה שנדמה: זו הצורה של שרשרת או חבל התלויים משני קצותיהם, והיא נקראת "קטנרי" (עקומת השרשרת).

והתעלול בסעיף (א) — הכפלה ב־\(e^x\) — אינו מקרי: זו השיטה הכללית לפתרון כל תנאי מהסוג \(f+f'=h(x)\). נסו אותה למשל על \(f(x)+f'(x)=1\).

A challenge problem · Calculus

A function plus its derivative equals eˣ

A small equation, a whole family of functions, and two famous ones

We are looking for a function which, added to its own derivative, gives \(e^x\). It looks as if this needs "differential equations", which are not taught at school — but one clever trick puts the whole problem within reach of an advanced high-school student.

Khaled Khatib

The problem

Advanced level · Calculus

A twice-differentiable function \(f(x)\) satisfies, for every \(x\):

\[f(x)+f'(x)=e^x.\]

(a) Define \(g(x)=e^x f(x)\). Show that \(g'(x)=e^{2x}\).
(b) Deduce that every function satisfying the condition has the form \(f(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}\), where \(C\) is a constant.
(c) Check that every function of this form does satisfy the condition.
(d) Prove that \(f''(x)=f(x)\) for every function satisfying the condition.
(e) Find the even function \(f\) that satisfies the condition.
(f) For the function found in (e): prove that \(f^2(x)-\big(f'(x)\big)^2=1\) for every \(x\), and find its minimum value.

***

(g) Is there an odd function satisfying the condition? If so, find it.

Hint for (a)

Differentiate \(g\) with the product rule and take \(e^x\) out as a common factor. What do you know about \(f(x)+f'(x)\)?

Hint for (b)

Two functions with equal derivatives differ by a constant. Find one function whose derivative is \(e^{2x}\), then go back from \(g\) to \(f\).

Hint for (g)

Write the condition \(f(-x)=-f(x)\) for the form \(\tfrac12e^x+Ce^{-x}\) and compare the coefficients of \(e^x\) and \(e^{-x}\) on both sides.

Full solution (try it yourself first!)

(a) By the product rule: \(g'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x)=e^x\big(f(x)+f'(x)\big)=e^x\cdot e^x=e^{2x}\).

(b) The function \(\tfrac12e^{2x}\) also has derivative \(e^{2x}\), so \(g(x)\) and \(\tfrac12e^{2x}\) differ by a constant: \(g(x)=\tfrac12e^{2x}+C\). Dividing by \(e^x\ne0\):

\[f(x)=\frac{g(x)}{e^x}=\tfrac12e^x+Ce^{-x}.\]

So there are no other solutions: every solution has this form.

(c) \(f'(x)=\tfrac12e^x-Ce^{-x}\), so \(f(x)+f'(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}+\tfrac12e^x-Ce^{-x}=e^x\). ✓ The condition determines exactly a one-parameter family of functions.

(d) Differentiate both sides of the condition: \(f'(x)+f''(x)=e^x\). Subtract the original condition \(f(x)+f'(x)=e^x\) to get \(f''(x)-f(x)=0\), i.e. \(f''=f\). (Or directly from the form: \(f''(x)=\tfrac12e^x+Ce^{-x}=f(x)\).)

(e) The condition \(f(-x)=f(x)\) reads \(\tfrac12e^{-x}+Ce^{x}=\tfrac12e^x+Ce^{-x}\), i.e. \(\big(C-\tfrac12\big)\big(e^x-e^{-x}\big)=0\) for all \(x\). Hence \(C=\tfrac12\) and

\[f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\]

(f) \(f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\), so

\[f^2-(f')^2=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{4}=\frac{4e^x e^{-x}}{4}=1.\]

\(f'(x)=0\) only when \(e^x=e^{-x}\), i.e. \(x=0\); \(f'\) is negative to the left of 0 and positive to the right, so the minimum value is \(f(0)=1\). (The identity also shows it: \(f^2=1+(f')^2\ge1\).)

(g) The condition \(f(-x)=-f(x)\) reads \(\tfrac12e^{-x}+Ce^{x}=-\tfrac12e^x-Ce^{-x}\), i.e. \(\big(C+\tfrac12\big)\big(e^x+e^{-x}\big)=0\). Hence \(C=-\tfrac12\), and the odd function exists:

\[f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}.\]

Notice: the even and the odd function we found are each other's derivatives, and their sum is \(e^x\). \(\blacksquare\)

Beyond the problem

The two functions from (e) and (g) have special names: the hyperbolic cosine \(\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) and the hyperbolic sine \(\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\). The identity you proved in (f), \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\), resembles the familiar \(\cos^2x+\sin^2x=1\) — with a minus sign. Just as the point \((\cos t,\sin t)\) lies on the circle \(x^2+y^2=1\), the point \((\cosh t,\sinh t)\) lies on the hyperbola \(x^2-y^2=1\) — hence the name.

The graph of \(\cosh x\) is more familiar than it seems: it is the shape of a chain or rope hanging from its two ends, called the catenary.

And the trick in (a) — multiplying by \(e^x\) — is no accident: it is the general method for any condition of the form \(f+f'=h(x)\). Try it, for example, on \(f(x)+f'(x)=1\).

→ العودة إلى أسئلة تحدٍّ