نرسم قطعة من رأس مثلث إلى ضلع يقابله. كيف نحسب طولها؟ قد تكون متوسطًا، أو ارتفاعًا، أو منصفًا للزاوية، وقد تكون قطعة لا تتمتّع بأيّ صفة خاصة. تربط مبرهنة ستيوارت طول هذه القطعة بأضلاع المثلث وبموضع نهايتها على الضلع المقابل، وتجمع هذه الحالات في علاقة واحدة.
الأستاذ خالد خطيب
نعرف أنّ المتوسط يقسم الضلع إلى قسمين متساويين، وأنّ الارتفاع عموديّ على المستقيم الذي يقع عليه الضلع، وأنّ منصف الزاوية يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين. هذه خواص مختلفة؛ فهل يمكن أن نعالج أطوال القطع الثلاث بالأداة نفسها؟ لنبدأ بقطعة عامة، ثم نرى ما الذي يتغيّر عندما نفرض عليها كلّ واحدة من هذه الخواص.
المبرهنة
مبرهنة ستيوارت
ليكن ABC مثلثًا غير منعدم، ولتكن D نقطة داخل الضلع BC. نرمز إلى الأطوال كما يأتي:
حيث . عندئذٍ:
ومنها نحصل مباشرة على مربع طول القطعة:
القطعة البرتقالية هي AD. الطرف الأيسر من القانون يجمع مربعَي الضلعين، وكلّ منهما مضروب في الجزء المقابل له على الضلع BC.
ولتثبيت ترتيب الحدود، يمكن كتابة القانون بأسماء القطع نفسها:
وجود القطعة داخل المثلث لا يجعلها متوسطًا أو ارتفاعًا أو منصفًا للزاوية. تنطبق المبرهنة على أيّ موضع للنقطة D داخل الضلع.
جرّبوا بأنفسكم
اسحبوا الرؤوس أو النقطة D، وراقبوا كيف تتغيّر الأطوال بينما يبقى طرفا المساواة متساويين. ثم اختاروا المتوسط أو الارتفاع أو منصف الزاوية: ما الخاصية التي تحدّد موضع D في كلّ حالة؟
اختاروا نوع القطعة
حرّكوا D على الضلع.
a = 14b = 15c = 13m = 4n = 10
الطرف الأيسر
2590
cm³
الطرف الأيمن
2590
cm³
طول AD
12.042
سم
طرفا المساواة متساويان.
الأطوال موجبة، وD داخل الضلع BC.
قدم الارتفاع خارج الضلع: تُستخدم هنا إسقاطات موجّهة، لذلك يظهر أحد الجزأين سالبًا.
يمكن سحب A وB وC. تُسحب D في وضع القطعة العامة، أو تُحرّك بمزلِق الموضع. يمكن أيضًا تحريك نقطة محددة بمفاتيح الأسهم.
يعرض الرسم مثال المثلث ذي الأضلاع 13، 14، 15. تتغيّر القطعة ومقادير القانون عند السحب في النسخة التفاعلية.
لمحة تاريخية
تحمل المبرهنة اسم الرياضي الاسكتلندي ماثيو ستيوارت، الذي نشر النتيجة في كتابه Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics سنة 1746. وتكشف دراسة ماكاي التاريخية عن صلتها بنتائج أستاذه روبرت سيمسون؛ لذلك فاسم المبرهنة لا يختصر وحده قصة ظهورها. [1]
برهان: زاويتان تتكاملان، وحدّان يختفيان
الفكرة هي تطبيق قانون جيوب التمام في المثلثين ABD وACD، ثم جمع المعادلتين بأوزان تلغي الحدّ المثلثاتي.
نثبت الزاوية
لأنّ B وD وC على استقامة واحدة:
نكتب قانون جيوب التمام مرتين
تغيّرت إشارة الحدّ الأخير لأنّ جيب تمام الزاوية المكملة يساوي سالب جيب تمام الزاوية الأصلية.
نختار الأوزان
نضرب المعادلة الأولى في n والثانية في m، ثم نجمع. يُلغى الحدّان اللذان يحتويان على جيب التمام، فنحصل على:
وبما أنّ ، نحصل على مبرهنة ستيوارت:
■
ثلاث حالات خاصة
1. المتوسط — תיכון
لتكن M نقطة منتصف BC، ولنرمز إلى طول المتوسط AM بالرمز . عندئذٍ . بالتعويض في ستيوارت والقسمة على a:
وبأسماء القطع:
المتوسط يقسم الضلع إلى نصفين؛ أمّا تعامده مع الضلع فلا يُفترض في مثلث عام.
2. الارتفاع — גובה
لتكن H قدم العمود من A على المستقيم BC، وليكن طول الارتفاع. إذا كانت H داخل الضلع، فإنّ وضع D=H يعطي:
ولحساب الارتفاع من الأضلاع وحدها، نأخذ x الإسقاط الموجّه للقطعة BA على الاتجاه من B إلى C. من فيثاغورس:
بطرح المعادلتين نجد:
ثم:
إذا وقعت H على امتداد الضلع، فقد يكون x<0 أو x>a. تبقى صيغة الارتفاع الأخيرة صحيحة؛ أمّا صيغة ستيوارت الأولى بالأطوال الموجبة فكانت مفروضة لنقطة داخل الضلع.
3. منصف الزاوية الداخلي — חוצה זווית פנימי
لتكن L نقطة التقاء منصف الزاوية A مع BC، ولنرمز إلى طوله بالرمز . مبرهنة منصف الزاوية تعطينا:
بالتعويض في الطرف الأيسر من ستيوارت:
وبالقسمة على a نحصل على:
منصف الزاوية يقسم الضلع بنسبة الساقين المجاورتين للزاوية؛ وتتساوى القطعتان على الضلع عندما تتساوى هاتان الساقان.
ثلاث قطع من الرأس نفسه: الارتفاع بالأزرق، منصف الزاوية بالذهبي، والمتوسط بالأخضر. مواضع H وL وM مختلفة في هذا المثلث.
أيّ القطع الثلاث أقصر؟ ومتى تتطابق؟
في أيّ مثلث، وبالنسبة إلى القطع الخارجة من الرأس نفسه:
الارتفاع أقصر قطعة تصل الرأس بالمستقيم المقابل، ولذلك لا يزيد طوله على طول منصف الزاوية. ولمقارنة المنصف بالمتوسط، نطرح مربعَي الصيغتين:
من متباينة المثلث نعرف أنّ a<b+c، لذا فإنّ العامل داخل القوس موجب. إذن طول منصف الزاوية لا يزيد على طول المتوسط، وتتساوى أطوال القطع الثلاث إذا وفقط إذا كان b=c، أي AB=AC. في هذه الحالة تتطابق القطع فعلًا: تنتهي جميعها عند منتصف الضلع BC.
مثال عددي: أربعة أطوال في مثلث واحد
الأطوال التالية بالسنتيمتر، والنقطة D تقسم الضلع بنسبة معلومة:
جدوا AD، ثم قارنوه بالمتوسط والارتفاع ومنصف الزاوية من A.
حلّ المثال خطوة بخطوة
أولًا نحدّد جزأي الضلع:
نطبّق ستيوارت، مع الانتباه إلى ترتيب الأوزان:
نأخذ الجذر الموجب لأنّنا نحسب طولًا. ويعطي تطبيق الصيغ الخاصة باقي الأطوال:
القطعة
تقسيم الضلع
الطول بالسنتيمتر
AD
BD=4, DC=10
المتوسط AM
الارتفاع AH
المنصف AL
الفروق صغيرة في هذا المثال، لكنها تكفي لتوضّح أنّ معرفة نوع القطعة هي التي تحدّد طولها.
سؤال للقرّاء: قطعتان تقسمان الوتر
في المثلث ABC القائم الزاوية عند A، تقسم النقطتان D وE الوتر BC إلى ثلاثة أجزاء متساوية، بهذا الترتيب:
برهنوا أنّ:
لا يُشترط تساوي الساقين. المطلوب هو مجموع مربعَي القطعتين الداخليتين، لا طول كلّ واحدة منهما منفردة.تلميح
طبّقوا ستيوارت على AD، ثم على AE. كيف تتبادل الأوزان في المعادلتين؟ وماذا يحدث عند جمعهما؟
الحلّ الكامل — حاولوا أولًا
نرمز كالعادة BC=a، AC=b، AB=c، ونضع:
نطبّق ستيوارت على القطعة الأولى
لأنّ BD=a/3 وDC=2a/3:
نطبّقها على القطعة الثانية
هنا BE=2a/3 وEC=a/3، ولذلك:
نجمع، ثم نستعمل الزاوية القائمة
بما أنّ المثلث قائم عند A، فإنّ:
إذن:
وهذا هو المطلوب.
■
السؤال مبنيّ على تمرين في ملاحظات ميشا لافروف للتدريب على الهندسة؛ الصياغة والشرح والرسومات هنا أُعدّت لهذه المقالة. [2]
حين نقرأ ستيوارت، فإنّ الجزأين m وn يحملان معلومة البناء الهندسي: تساويهما يحدّد المتوسط، ونسبتهما تحدّد منصف الزاوية، والتعامد يقود إلى الارتفاع. القانون الواحد يتيح لنا الانتقال من رسم نراه إلى علاقة نستطيع أن نبرهنها ونحسب بها.
מציירים קטע מקודקוד של משולש אל הצלע שמולו. כיצד מחשבים את אורכו? הוא יכול להיות תיכון, גובה, חוצה זווית, או קטע שאין לו שום תכונה מיוחדת. משפט סטיוארט קושר את אורך הקטע לאורכי הצלעות ולמיקום קצהו על הצלע שמול הקודקוד, ומאחד את המקרים האלה בקשר אחד.
חאלד חטיב
התיכון מחלק את הצלע לשני חלקים שווים, הגובה מאונך לישר שעליו מונחת הצלע, וחוצה הזווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. אלה תכונות שונות. האם אפשר לטפל באורכי שלושת הקטעים באותה דרך? נתחיל בקטע כללי, ואז נבדוק מה משתנה כשמוסיפים כל אחת מהתכונות.
המשפט
משפט סטיוארט
יהי ABC משולש לא מנוון, ותהי D נקודה פנימית בצלע BC. נסמן:
כאשר . אז:
מכאן אפשר לחשב את ריבוע אורך הקטע:
בכתום — הקטע AD. באגף שמאל מופיעים ריבועי שני אורכי הצלעות, כל אחד מוכפל בחלק שמולו בצלע BC.
כדי לזכור את סדר האיברים, נכתוב את המשפט גם בשמות הקטעים:
קטע שנמצא בתוך המשולש אינו בהכרח תיכון, גובה או חוצה זווית. המשפט נכון לכל מיקום פנימי של D על הצלע.
נסו בעצמכם
גררו את הקודקודים או את D. האורכים משתנים, אך שני אגפי השוויון נשארים שווים. בחרו תיכון, גובה או חוצה זווית: איזו תכונה קובעת את מיקום D בכל מקרה?
בחרו את סוג הקטע
הזיזו את D על הצלע.
a = 14b = 15c = 13m = 4n = 10
אגף שמאל
2590
cm³
אגף ימין
2590
cm³
אורך AD
12.042
ס״מ
שני אגפי השוויון שווים.
האורכים חיוביים, ו־D בתוך הצלע BC.
רגל הגובה מחוץ לצלע: כאן משתמשים בהיטלים מכוונים, ולכן אחד החלקים שלילי.
אפשר לגרור את A, B ו־C. במצב קטע כללי אפשר לגרור את D או להזיזו במחוון. נקודה ממוקדת ניתנת להזזה גם במקשי החצים.
האיור מציג את המשולש שאורכי צלעותיו 13, 14, 15. בגרסה האינטראקטיבית אפשר לגרור ולשנות את הקטע ואת ערכי המשפט.
קצת היסטוריה
המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הסקוטי מתיו סטיוארט, שפרסם את התוצאה בספרו Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics בשנת 1746. מחקרו ההיסטורי של מקיי מצביע על הקשר לתוצאות של מורו, רוברט סימסון; שם המשפט לבדו אינו מספר את כל סיפורו. [1]
הוכחה: זוויות משלימות ואיברים שנעלמים
נפעיל את משפט הקוסינוסים בשני המשולשים ABD וACD, ואז נחבר את המשוואות במשקלים שיבטלו את האיבר הטריגונומטרי.
קובעים את הזווית
מכיוון ש־B, D ו־C על ישר אחד:
כותבים את משפט הקוסינוסים פעמיים
סימן האיבר האחרון מתחלף, משום שקוסינוס של זווית משלימה ל־180° הוא הנגדי של הקוסינוס המקורי.
בוחרים את המשקלים
נכפול את המשוואה הראשונה ב־n ואת השנייה ב־m, ונחבר. איברי הקוסינוס מתבטלים:
מציבים ומקבלים:
■
שלושה מקרים מיוחדים
1. התיכון
תהי M אמצע הצלע BC, ונסמן את אורך AM ב־. כאן . מציבים במשפט ומחלקים ב־a:
בשמות הקטעים:
התיכון חוצה את הצלע; במשולש כללי אין להניח שהוא גם מאונך לה.
2. הגובה
תהי H רגל האנך מ־A לישר BC, ונסמן את הגובה ב־. כאשר H בתוך הצלע, הצבת D=H נותנת:
כדי למצוא את הגובה מתוך הצלעות בלבד, נסמן ב־x את ההיטל המכוון של BA בכיוון מ־B ל־C. לפי פיתגורס:
נחסיר את המשוואות:
ולכן:
אם H נמצאת על המשך הצלע, ייתכן ש־x<0 או x>a. נוסחת הגובה האחרונה עדיין נכונה. לעומת זאת, הניסוח הראשוני של סטיוארט באורכים חיוביים הניח נקודה פנימית בצלע.
3. חוצה הזווית הפנימי
תהי L נקודת המפגש של חוצה הזווית A עם BC, ונסמן את אורכו ב־. משפט חוצה הזווית נותן:
נציב באגף שמאל של סטיוארט:
נחלק ב־a ונקבל:
חוצה הזווית מחלק את הצלע ביחס הצלעות הסמוכות לזווית; שני חלקי הצלע שווים כאשר שתי הצלעות הסמוכות שוות.
שלושה קטעים מאותו קודקוד: הגובה בכחול, חוצה הזווית בזהב, והתיכון בירוק. הנקודות H, L ו־M שונות במשולש הזה.
איזה קטע קצר יותר? ומתי הם מתלכדים?
בכל משולש, כאשר שלושת הקטעים יוצאים מאותו קודקוד:
הגובה הוא הקטע הקצר ביותר בין הקודקוד לישר שמולו, ולכן אינו ארוך מחוצה הזווית. להשוואת חוצה הזווית והתיכון, נחסיר את ריבועי הנוסחאות:
מאי־שוויון המשולש מתקיים a<b+c, ולכן הגורם שבסוגריים חיובי. מכאן שחוצה הזווית אינו ארוך מהתיכון. שלושת האורכים שווים אם ורק אם b=c, כלומר AB=AC. במקרה זה שלושת הקטעים גם מתלכדים, ומסתיימים באמצע BC.
דוגמה מספרית: ארבעה אורכים במשולש אחד
האורכים הבאים בסנטימטרים, והנקודה D מחלקת את הצלע ביחס נתון:
מצאו את AD, והשוו אותו לתיכון, לגובה ולחוצה הזווית מ־A.
פתרון הדוגמה, שלב אחר שלב
ראשית נמצא את שני חלקי הצלע:
נפעיל את סטיוארט, תוך תשומת לב לסדר המשקלים:
נבחר את השורש החיובי, כי זהו אורך. הנוסחאות המיוחדות נותנות את שאר האורכים:
הקטע
חלוקת הצלע
האורך בס״מ
AD
BD=4, DC=10
התיכון AM
הגובה AH
חוצה הזווית AL
ההבדלים קטנים בדוגמה הזאת, אך ממחישים שתכונת הקטע היא שקובעת את אורכו.
תרגיל לקוראים: שני קטעים המחלקים את היתר
במשולש ABC ישר־זווית ב־A, הנקודות D ו־E מחלקות את היתר BC לשלושה חלקים שווים, בסדר הזה:
הוכיחו כי:
אין צורך שהניצבים יהיו שווים. נדרש סכום הריבועים של שני הקטעים הפנימיים, ולא אורכו של כל קטע לחוד.רמז
הפעילו את סטיוארט על AD ואז על AE. כיצד מתחלפים המשקלים, ומה קורה כשמחברים את המשוואות?
פתרון מלא — נסו קודם לבד
נסמן BC=a, AC=b, AB=c, וכן:
מפעילים את סטיוארט על הקטע הראשון
כאן BD=a/3 ו־DC=2a/3:
מפעילים על הקטע השני
כאן BE=2a/3 ו־EC=a/3, ולכן:
מחברים, ומשתמשים בזווית הישרה
לפי פיתגורס במשולש ישר־הזווית:
לכן:
כנדרש.
■
התרגיל מבוסס על שאלה במערך האימון בגאומטריה של מישה לברוב; הניסוח, ההסבר והאיורים כאן הוכנו למאמר זה. [2]
החלקים m ו־n נושאים את המידע על הבנייה: שוויונם מאפיין תיכון, היחס ביניהם מאפיין חוצה זווית, והאנכיות מובילה לגובה. משפט אחד מאפשר לעבור מציור שאנו רואים לקשר שאפשר להוכיח ולחשב באמצעותו.
One theorem for the median, altitude and angle bisector
Draw a segment from a vertex of a triangle to the opposite side. How can we find its length? It might be a median, an altitude, an angle bisector, or simply an arbitrary segment. Stewart’s theorem relates its length to the sides of the triangle and the position of its endpoint, bringing these constructions into one equation.
Khaled Khatib
A median divides a side equally; an altitude is perpendicular to the line through that side; and an angle bisector divides an angle equally. These are different properties. Can we handle their lengths with the same tool? We begin with an arbitrary segment and then add each condition in turn.
The theorem
Stewart’s theorem
Let ABC be a nondegenerate triangle, and let D lie strictly inside side BC. Write:
Here . Then:
We can therefore find the squared length of the segment:
The orange segment is AD. Each squared side length on the left is weighted by the part of BC opposite that side.
Writing the equation with segment names helps keep the weights in the correct order:
An interior segment need not be a median, altitude or angle bisector. The theorem applies to any interior position of D.
Try it yourself
Drag the vertices or point D. The lengths change, but both sides of the equation remain equal. Now choose the median, altitude or angle bisector: what condition fixes the location of D in each case?
Choose the segment
Move D along the side.
a = 14b = 15c = 13m = 4n = 10
Left-hand side
2590
cm³
Right-hand side
2590
cm³
Length of AD
12.042
cm
Both sides of the equation are equal.
The lengths are positive, and D is inside BC.
The altitude foot is outside the side: directed projections are used here, so one part is negative.
Drag A, B and C. In arbitrary-segment mode, drag D or use the position slider. A focused point can also be moved with the arrow keys.
The diagram shows the triangle with sides 13, 14 and 15. In the interactive version, dragging changes the segment and the values in the equation.
A little history
The theorem bears the name of the Scottish mathematician Matthew Stewart, who published the result in Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics in 1746. Mackay’s historical study traces its connection with results of Stewart’s teacher, Robert Simson; the name alone does not tell the whole story. [1]
A proof: supplementary angles and cancellation
Apply the cosine rule to triangles ABD and ACD, then choose weights that cancel the trigonometric terms.
Fix the angle
Since B, D and C are collinear:
Apply the cosine rule twice
The last term changes sign because the cosine of a supplementary angle is the negative of the original cosine.
Choose the weights
Multiply the first equation by n and the second by m, then add. The cosine terms cancel:
Using gives:
■
Three special cases
1. The median
Let M be the midpoint of BC, and write for the length of AM. Here . Substitute into Stewart’s theorem and divide by a:
In segment names:
A median bisects the side. In a general triangle, we cannot assume that it is perpendicular to that side.
2. The altitude
Let H be the foot of the perpendicular from A to the line BC, and write for its length. When H is inside the side, setting D=H gives:
To find the altitude from the three sides alone, let x be the directed projection of BA in the direction from B to C. Pythagoras gives:
Subtracting the equations yields:
Hence:
If H lies on an extension of the side, then x<0 or x>a may occur. The final altitude formula still holds. The original positive-length statement of Stewart’s theorem assumed an interior point.
3. The internal angle bisector
Let L be where the internal bisector of angle A meets BC, and write for its length. The angle-bisector theorem gives:
Substitute into the left side of Stewart’s theorem:
Divide by a:
The angle bisector divides the opposite side in the ratio of the adjacent sides. Its two parts are equal when those adjacent sides are equal.
Three segments from the same vertex: altitude in blue, angle bisector in gold and median in green. The points H, L and M are distinct in this triangle.
Which is shortest? When do they coincide?
In every triangle, for the three segments from the same vertex:
The perpendicular is the shortest segment from the vertex to the opposite line, so the altitude is no longer than the angle bisector. To compare the bisector and median, subtract their squared formulas:
The triangle inequality gives a<b+c, so the expression in parentheses is positive. Thus the bisector is no longer than the median. All three lengths are equal exactly when b=c, or AB=AC. In that case the segments themselves coincide, ending at the midpoint of BC.
A numerical example: four lengths in one triangle
The following lengths are in centimetres, and D divides the side in a given ratio:
Find AD, then compare it with the median, altitude and angle bisector from A.
A step-by-step solution
First find the two parts of the side:
Apply Stewart’s theorem, taking care with the weights:
Take the positive square root, since we seek a length. The special formulas give the remaining lengths:
Segment
Division of the side
Length in cm
AD
BD=4, DC=10
Median AM
Altitude AH
Bisector AL
The differences are small here, but they show how the construction determines the length.
A problem for the reader: trisecting the hypotenuse
Triangle ABC is right-angled at A. Points D and E, in that order, divide the hypotenuse BC into three equal parts:
Prove that:
The legs need not be equal. We seek the sum of the squared interior lengths, rather than each length separately.Hint
Apply Stewart’s theorem to AD, then to AE. How do the weights swap, and what happens when the equations are added?
Full solution — try it first
Write BC=a, AC=b and AB=c, and set:
Apply Stewart to the first segment
Here BD=a/3 and DC=2a/3:
Apply it to the second segment
Here BE=2a/3 and EC=a/3, so:
Add, then use the right angle
Pythagoras gives:
Therefore:
As required.
■
The problem is adapted from Misha Lavrov’s geometry practice notes. The presentation, explanations and diagrams here were prepared for this article. [2]
The parts m and n carry the information about the construction: equality identifies the median, their ratio identifies the angle bisector, and perpendicularity leads to the altitude. One theorem takes us from a drawing to a relationship we can prove and calculate with.