باحث الدوال الابتدائية (الدوال الأولية)

1. ما تحت الجذر التربيعي غير سالب.$x+2 \ge 0$
2. نأخذ التقاطع بين جميع الشروط مع الحفاظ على شروط الدالة الأصلية قبل الاختصار.

نكتب المجال بصيغ متكافئة، مع استبعاد نقاط عدم التعريف.

1. نتأكد أنّ $x = 0$ ينتمي إلى المجال.
2. نعوّض في الدالة الأصلية.$f(0) = -4 \cdot \sqrt{2}$
3. نكتب نقطة التقاطع: $(0, -4 \cdot \sqrt{2})$.

1. نضع $y = 0$ ونحل المعادلة.$f(x) = 0$$\left(x^{2}-4\right) \cdot \sqrt{x+2} = 0$
2. حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يساوي أحد العوامل صفرًا، مع فحص المجال.$x^{2}-4=0 \quad \lor \quad \sqrt{x+2}=0$
3. نحسب مميّز المعادلة التربيعية.$\Delta = (0)^2-4(1)(-4) = 16$
4. نطبّق قانون حل المعادلة التربيعية ثم نفحص الحلول في المجال.$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{16}}{2(1)}$
5. الحلول الحقيقية المرشّحة قبل فحص شروط الدالة الأصلية:$x=-2 \quad \lor \quad x=2$
6. مدخل الجذر أو القيمة المطلقة يساوي صفرًا.$x+2=0$
7. نحل المعادلة الخطية بنقل الثابت ثم القسمة على معامل x.$1x = -2$
8. الحلول الحقيقية المرشّحة قبل فحص شروط الدالة الأصلية:$x=-2$
9. نعزل الجذور ونفحص كل جذر في شروط المجال الأصلي.$f(-2) = 0$$f(2) = 0$
10. نكتب النقاط: $(-2, 0)$، $(2, 0)$

1. قاعدة مشتقة حاصل الضرب.
   $f'(x) = \frac{x^{2}-4}{2 \cdot \sqrt{x+2}}+2 \cdot \sqrt{x+2} \cdot x$
2. قاعدة مشتقة الفرق.
   $\left[x^{2}-4\right]' = 2 \cdot x$
3. قاعدة القوة وقاعدة السلسلة.
   $\left[x^{2}\right]' = 2 \cdot x$
4. مشتقة الجذر وقاعدة السلسلة.
   $\left[\sqrt{x+2}\right]' = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x+2}}$
5. قاعدة مشتقة المجموع.
   $\left[x+2\right]' = 1$
6. نفتح الأقواس وننفّذ الضرب حيث يمكن ذلك.
   $f'(x)=\frac{x^{2}}{2 \cdot \sqrt{x+2}}+2 \cdot \sqrt{x+2} \cdot x-\frac{2}{\sqrt{x+2}}$
7. نرتّب الحدود ونجمع المتشابه منها.
   $f'(x)=\frac{\left(5 \cdot x-2\right) \cdot \left(x+2\right)}{2 \cdot \sqrt{x+2}}$

صيغة المشتقة تُستخدم حيث تكون الدالة قابلة للاشتقاق. تُفحص الأطراف ونقاط القيمة المطلقة على حدة.

1. نحل $f′(x) = 0$: $x = \frac{2}{5}$
2. حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يساوي أحد العوامل صفرًا، مع فحص المجال.$\frac{\left(5 \cdot x-2\right) \cdot \left(x+2\right)}{2}=0 \quad \lor \quad \frac{1}{\sqrt{x+2}}=0$
3. حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يساوي أحد العوامل صفرًا، مع فحص المجال.$\frac{\left(5 \cdot x-2\right)}{2}=0 \quad \lor \quad x+2=0$
4. حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يساوي أحد العوامل صفرًا، مع فحص المجال.$\frac{1}{2}=0 \quad \lor \quad 5 \cdot x-2=0$
5. الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا والمقام غير صفر.$1=0, \quad 2\ne0$
6. نحل المعادلة الخطية بنقل الثابت ثم القسمة على معامل x.$5x = 2$
7. الحلول الحقيقية المرشّحة قبل فحص شروط الدالة الأصلية:$x=\frac{2}{5}$
8. نحل المعادلة الخطية بنقل الثابت ثم القسمة على معامل x.$1x = -2$
9. الحلول الحقيقية المرشّحة قبل فحص شروط الدالة الأصلية:$x=-2$
10. نضيف نقاط عدم الاشتقاق الواقعة في المجال، ونفحص الأطراف من الجهة المتاحة.
11. نفحص الإشارة: من $+$ إلى $-$ عظمى؛ ومن $-$ إلى $+$ صغرى. إذا لم تتغيّر الإشارة، لا نستنتج نقطة قصوى.
12. نحسب $y = f(x)$ لكل نقطة قصوى.

جدول التغيّر وإشارة المشتقة

1. نقسّم مجال الاشتقاق عند أصفار المشتقة ونقاط عدم التعريف.
2. حيث $f′(x)>0$ تكون الدالة في تصاعد، وحيث $f′(x)<0$ تكون في تنازل.
3. نسجّل الفترات التي يعطيها جدول المشتقة؛ نضم فترتين متجاورتين لهما الاتجاه نفسه إذا كانت الدالة مستمرة عند الحد المشترك.

1. نقسّم المجال باستخدام أصفار الدالة ونقاط عدم التعريف.
2. نعوّض قيمة اختبار في $f(x)$ على كل فترة.
3. الدالة موجبة حيث $f(x)>0$ وسالبة حيث $f(x)<0$. نستبعد أصفار الدالة من مجالات الموجب والسالب، ونُدخل نقاط الطرف إذا انتمت إلى المجال وحققت الإشارة.

1. نفحص النهايات عند حدود المجال ونقاط عدم التعريف. النهاية غير المحدودة تعطي خط تقارب عموديًا.
2. عند اللانهاية: النهاية الثابتة تعطي خطًا أفقيًا. للمائل نحسب $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ ثم $b=\lim [f(x)-mx]$.